\section{微正则系综}
在微正则系综里,一个系统的宏观态是由分子数$N$ 、体积$V$和能量$E$来确定的.
然而,考虑到之前的研究,我们在这里宁愿规定一个能量范围,比如从
$\left(E-\frac{1}{2} \Delta\right)$到$\left(E+\frac{1}{2} \Delta\right)$,
而不愿明确地确定一个固定值$E$.对一个特定的宏观态,
仍然还是选择系综中各个系统处在巨大数目的可能的微观态中的任何一个状态.
相应地,在相空间中系综的代表点选择在由条件
\begin{equation*}
    \left(E-\frac{1}{2} \Delta\right) \leqslant H(q, p) \leqslant\left(E+\frac{1}{2} \Delta\right)
\end{equation*}
所限定的"超壳体"内的任何地方.该壳体的相空间体积为
\begin{equation*}
    \omega \int^{\prime} \mathrm{d} \omega=\int^{\prime}\left(\mathrm{d}^{3N} q \mathrm{~d}^{3N} p\right)
\end{equation*}

其中带撇的积分只是对相空间中壳体进行.很显然, $\omega$将是参量$N, V, E$和$\Delta$的函数.

现在,微正则系综是这样一些系统的一个集体,它们的密度函数在全部时间里，是由下式确定的：
\begin{equation*}
    \rho(q, p)= \begin{cases}\text {常量, } & \text {对于}\left(E-\frac{1}{2} \Delta\right) \leqslant H(q, p) \leqslant\left(E+\frac{1}{2} \Delta\right), \\0, & \text {对于其他情形. }\end{cases}
\end{equation*}

因此,在相空间的对应超壳体的体积元$\mathrm{d} \omega$里,
代表点数的期望值完全正比于$\mathrm{d} \omega$.换句话说,
在一个给定的体积元$\mathrm{d} \omega$里找到代表点的先验概率,
与位于超壳体内任何地方的一个等大体积元$\mathrm{d} \omega$里找到代表点的先验概率是相同的.
按照我们先前的说法,这意味着系综的一个给定成员,无论处于各种可能的微观态中哪一个,其先验概率都是相等的.
鉴于这些考虑,系综的平均值$\langle f\rangle$获得了一个简单的物理含义.为了弄清这一点,我们继续讨论如下。

由于所研究的是稳定系综,所以任何物理量的系综平均,必须与时间无关.因此,取其时间的平均,将不会产生任何新的结果.于是

\begin{equation*}
    \langle f\rangle  =f \text {的系综平均}=(f \text {的系综平均}) \text {的时间平均. }
\end{equation*}

此处,求时间平均的过程与求系综平均的过程两者是完全独立的过程,因此,
这两种求平均值的过程在顺序上是可以颠倒的,这样并不会对$(f)$引起任何变化.因此
\begin{equation*}
    \langle f\rangle=(f \text {的时间平均}) \text {的系综平均. }
\end{equation*}

这里,不管是什么样的一个物理量,在一个足够长的时间间隔内求其时间平均值,对于系综的每一个成员来说,都必须是相同的.
因为我们毕竟仅仅是研究一个给定系统的思维复本,所以,取系综的平均值是无关紧要的. 因而我们可以写成:
\begin{equation*}
    \langle f\rangle=f \text {的长时间平均. }
\end{equation*}
\begin{note}
    显而易见,倘若对于系综的任何具体成员仅仅是在一个短暂时间内求量$f$的平均值的话,
    则其结果必然取决于在短暂时间内该系统所通过的有关"微观态的子集".在相空间中,
    这将意味着仅仅对"允许区域的一部分"求平均值.然而,如果我们用一个足够长的时间来代格此短暂时间,
    就可以期望此系统"公平地"通过几乎全部可能的微覌态.
    因此,求平均值的结果只取决于系统的宏观态,而并不取决于各种微观态.
    在相空间中求平均值实际上是对所允许区域的全部求平均值,这也是"公平地"完成的.
    换句话说,我们系统的代表点将几乎是均匀地通过所允许的每个区域和每个区域的每个部分.
    这段论述既括了所谓遍历定理或遍历假说,它是玻尔兹曼在1871年首先提出的.
    根据这个原理,一个代表点的轨迹随着时间的推移将通过相空间的每一个有关的区域及每个区域中的每个点.
    然而,稍加思考就可证明,上述说法并不是严格正确的;我们最好用所谓的准遍历假说来代替它.按照准遍历假说，
    随着时间的推移，代表点的轨迹最终将穿过相应区域中的任何点的任何邻域.

    现在，当我们考虑一个系综时，前面的论述对系综的每一个成员都是成立的;
    因此,不管各种系统的初态和终态如何,物理量$f$的长时间的平均值对系综的每个成员都应该最相同的.
\end{note}
这里,后者可以对系综的任何成员求出.我们进一步观测到,
一个物理量的长时间平均值就是我们在一个给定系统上对该物理量测量所得到的值.于是,我们最后求得
\begin{equation*}
    \langle f\rangle=f_{\text{期望值}}
\end{equation*}

这就给我们揭示了一个最重要的结果:任何物理量$f$的系综平均值,与人们在该给定系统上进行适当测量所得到的期望值是相等的.

其次，我们所要寻求的另一个关系，就是确立微正则系综的力学和成员系统的热力学之间的联系.
为此,我们注意到,在给定系统的各种微观态和相空间中各点之间存在着直接的对应关系.
因此, $\omega$ (相空间所允许区域的体积)就是在该系统里得到微观态的多重性$\Gamma$的一种直接的测度。
为了确立起$\omega$和$\Gamma$之问在数值上的对应关系,
我们必须找到可以被认为是"等效于一个微观态"的基本体积$\omega_0$.
一旦发现了这个基本体积之后，我们立刻可以得出结论：从渐
近性质上说
\begin{equation*}
    \Gamma=\frac{\omega}{\omega_0}
\end{equation*}

然后,关于系统的热力学性质,可以通过
\begin{equation*}
    S(N, V, E)=k \ln \Gamma=k \ln \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right) \text {,等等}
\end{equation*}
关系而推导出来.

因此,基本的问题就在于确定$\omega_0$.从量纲上考虑,
$\omega_0$必须具有"角动量的$3N$次桌"的性质.为了精确地确定它,我们以后将在一些简化的系统中进行研究,
同时从相空间的观点和量子态分布的观点来考虑.

\section{理想气体}
首先,我们来讨论由单原子粒子组成的经典理想气体的问题.在微正则系综中, (成员)系统的代表点可及的相空间体积,由
\begin{equation*}
    \omega=\int^{\prime} \cdots \int^{\prime}\left(\mathrm{d}^{3N} q \mathrm{~d}^{3N} p\right)
\end{equation*}

所确定，这个积分由下列条件所限制:
\begin{enumerate}
    \item 系统的粒子被限制在体积为$V$的一个物理空间里;
    \item 系统的总能量界于$\left(E-\frac{1}{2} \Delta\right)$和$\left(E+\frac{1}{2} \Delta\right)$两个极限之间.
\end{enumerate}
由于在这种情况下哈密顿函数只是$p_i$的函数,故可直接对$q_i$进行积分.
\begin{note}
    理想气体, 不考虑粒子间的相互作用.
\end{note}
它给出一个因子$V^N$,其余的积分为:
\begin{equation*}
    \int_{\left(E-\frac{1}{2} \Delta\right) \leqslant \sum_{i=1}^{3N}\left(p_i^2/2m\right) \leqslant\left(E+\frac{1}{2} \Delta\right)} \cdots \mathrm{d}^{3N} p=\iint_{2m\left(E-\frac{1}{2} \Delta\right) \leqslant \sum_{i=1}^{3N} y_i^2\leqslant2m\left(E+\frac{1}{2} \Delta\right)} \mathrm{d}^{3N} y
\end{equation*}

该式等于由半径为
\begin{equation*}
    \sqrt{2m\left(E+\frac{1}{2} \Delta\right)} \text {和} \sqrt{2m\left(E-\frac{1}{2} \Delta\right)}
\end{equation*}

的两个超球面所界定的$3N$维超壳体的体积.对于$\Delta \ll E$的情形,
该体积几乎恰好等于超壳体厚度$\left(\simeq \Delta(m /2E)^{1/2}\right)$乘以半径为
$\sqrt{2m E}$的$3N$维超球面的表面积. 我们对上述积分求得:
\begin{equation*}
    \Delta\left(\frac{m}{2E}\right)^{1/2}\left\{\frac{2\pi^{3N /2}}{[(3N /2)-1]!}(2m E)^{(3N-1) /2}\right\}
\end{equation*}
由此得出
\begin{equation*}
    \omega \simeq \frac{\Delta}{E} V^N \frac{(2\pi m E)^{3N /2}}{[(3N /2)-1]!}
\end{equation*}
我们就获得所期望的对应关系,即
\begin{equation*}
    (\omega / \Gamma)_{\text {渐近地}} \equiv \omega_0=h^{3N} .
\end{equation*}
更一般地说,倘若所研究的系统有$\mathscr{N}$个自由度,则所期望的转换系数是:
\begin{equation*}
    \omega_0=h^{\mathscr{N}}
\end{equation*}

在单粒子的情况下， $\mathscr{N}=3$ ；因此，可及微观态数将渐近地等于相空间所允许区域的体积除以$h^3$.
令符号$\Sigma(P)$表示被限制在物理空间体积$V$中的一个自由粒子,粒子的动量$p$小于或等于特定值$P$时的可及微观态数.
因此,我们有:
\begin{equation*}
    \Sigma(P) \simeq \frac{1}{h^3} \int \underset{p \leqslant P}{ }\left(\mathrm{~d}^3q \mathrm{~d}^3p\right)=\frac{V}{h^3} \frac{4\pi}{3} P^3
\end{equation*}

这样,我们求得动量介于$p$和$p+\mathrm{d} p$之间的微观态数为:
\begin{equation*}
    g(p) \mathrm{d} p=\frac{\mathrm{d} \Sigma(p)}{\mathrm{d} p} \mathrm{~d} p \simeq \frac{V}{h^3}4\pi p^2\mathrm{~d} p
\end{equation*}

由于粒子能量可表示为$E=P^2/2m$,所以这些表达式可以取以下形式:
\begin{equation*}
    \Sigma(E) \simeq \frac{V}{h^3} \frac{4\pi}{3}(2m E)^{3/2}
\end{equation*}
和
\begin{equation*}
    \boldsymbol{a}(\varepsilon) \mathrm{d} \varepsilon=\frac{\mathrm{d} \Sigma(\varepsilon)}{\mathrm{d} \varepsilon} \mathrm{d} \varepsilon \simeq \frac{V}{h^3}2\pi(2m)^{3/2} \varepsilon^{1/2} \mathrm{~d} \varepsilon
\end{equation*}

\section{一维谐振子}
这个系统的哈密顿函数的经典表达式为:
\begin{equation*}
    H(q, p)=\frac{1}{2} k q^2+\frac{1}{2m} p^2
\end{equation*}
其中$k$是弹簧常量, $m$是振子的质量.振子的广义坐标$q$和广义动量$p$分别为:
\begin{equation*}
    q=A \cos (\omega t+\varphi), \quad p=m \dot{q}=-m \omega A \sin (\omega t+\varphi) .
\end{equation*}
其中$A$是振幅,而振动的(角)频率$\omega$为
\begin{equation*}
    \omega=\sqrt{k / m}
\end{equation*}
振子的能量是一个运动常量,由下式给出:
\begin{equation*}
    E=\frac{1}{2} m \omega^2A^2
\end{equation*}

将表达式中的$t$消去来确定这个系统的代表点的相空间轨迹,我们求得:
\begin{equation*}
    \frac{q^2}{2E / m \omega^2}+\frac{p^2}{2m E}=1
\end{equation*}
这是一个椭圆,其轴正比于$\sqrt{E}$,而面积正比于$E$;精确地说,其面积等于$2\pi E / \omega$.
现在,倘若我们将能量限制在间隔$\left(E-\frac{1}{2} \Delta, E+\frac{1}{2} \Delta\right)$之内,
则系统的代表点将被限制在相空间的一个有限区域内,
即对应于能量$\left(E+\frac{1}{2} \Delta\right)$和$\left(E-\frac{1}{2} \Delta\right)$的
两个椭圆轨迹为界的区域内.这个区域的"体积"（在这种情形下应是面积)将是:
\begin{equation*}
    \int_{\left(E-\frac{1}{2} \Delta\right) \leqslant H(q, p) \leqslant\left(E+\frac{1}{2} \Delta\right)}(\mathrm{d} q \mathrm{~d} p)=\frac{2\pi\left(E+\frac{1}{2} \Delta\right)}{\omega}-\frac{2\pi\left(E-\frac{1}{2} \Delta\right)}{\omega}=\frac{2\pi \Delta}{\omega}
\end{equation*}

根据量子力学,谐振子的能量本征值由下式确定:
\begin{equation*}
    E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega ; \quad n=0,1,2, \cdots
\end{equation*}
根据相空间图像,我们可以说,该系统的代表点必沿着"所选择的"轨迹之一运动,
如\figref{fig:ResonatorsAndPhaseSpace20240826151623}所示.
对于$\Delta=\hbar \omega$的两条相邻轨迹,
其间的相空间面积简单地是$2\pi \hbar$对于任意的$E$和$\Delta$值,当然,
具有$E \gg \Delta \gg \hbar \omega$,在所允许的能量间隔内本征态数目很接近等于$\Delta / \hbar \omega$.
因此,渐近地说,每个本征态的相空间的面积由下式所确定:
\begin{equation*}
    \omega_0=(2\pi \Delta / \omega) /(\Delta / \hbar \omega)=2\pi \hbar=h .
\end{equation*}
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{figure/ResonatorsAndPhaseSpace20240826151623.jpg}
    \caption{谐振子与相空间\label{fig:ResonatorsAndPhaseSpace20240826151623}}
\end{figure}
其次,倘若我们按照上述方式来研究$N$个谐振子系统,我们获得的结果为:
$\omega_0=h^N$ .这样,在这些情形中我们的结果都是与前述结果相一致.